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，严格说起来很难界定。 计算机（computer）的原来意义是“计算器”，也就是说，人类会发明计算机，最初的目的是帮助处理复杂的数字运算。而这种人工计算器的概念，最早可以追溯到十七世纪的法国大思想家帕斯卡。帕斯卡的父亲担任税务局长，当时的币制不是十进制，在计算上非常麻烦。帕斯卡为了协助父亲，利用齿轮原理，发明了第一台可以执行加减运算计算器 。后来，德国数学家莱布尼兹加以改良，发明了可以做乘除运算的计算器。之后虽然在计算器的功能上多所改良与精进，但是，真正的电动计算器，却必须等到公元1944年才制造出来。 而第一部真正可以称得上计算机的机器，则诞生于1946年的美国，毛琪利与爱克特发明的，名字叫做ENIAC。这部计算机使用真空管来处理讯号，所以体积庞大（占满一个房间）、耗电量高（使用时全镇的人都知道，因为家家户户的电灯都变暗了！），而且记忆容量又非常低（只有100多个字），但是，却已经是人类科技的一大进展。而我们通常把这种使用真空管的计算机称为第一代计算机。 第一代的电脑有2间教室大，跟现在我们一般用的个人电脑体积差很多吧。 当时的电脑零件是真空管(现在已经找不到了) 而存档的东西是一种打孔卡片，若没有前人的设计概念，也没有计算机的发明，所以计算机是谁发明的还有点难界定。
流动偏好陷阱，凯恩斯区域，凯恩斯极端情况的区别如下：
（1）概念不同：
流动性陷阱指当名义利率降低到无可再降低的地步，甚至接近于零时，由于人们对于某种“流动性偏好”的作用，宁愿以现金或储蓄的方式持有财富，而不愿意把这些财富以资本的形式作为投资，也不愿意把这些财富作为个人享乐的消费资料消费掉。
凯恩斯区域指的是LM曲线上斜率的三个区域分别指LM曲线从左到右所经历的水平线、向右上方倾斜线、垂直线的三个阶段。LM曲线这三个区域被分别称为凯恩斯区域、中间区域、 古典区域 。
如果出现一种IS曲线为垂直线而LM曲线为水平线的情况，则财政政策将十分有效，而货币政策将完全无效。这种情况被称为凯恩斯主义的极端情况。
（2）内涵不同：
流动性陷阱这个概念是描述一种经济现象，而凯恩斯区域、凯恩斯主义的极端情况均是在表述LM曲线不同的区域，其中凯恩斯区域表述的是LM曲线呈现水平状态的区域，凯恩斯主义的极端情况是指IS处置，LM水平的区域。
（3）表现形式不同：
流动性陷阱的表现流动性陷阱在金融层面的第一个表现就是金融市场的代表性利率不断下降，并且已经达到一个极低的水平。凯恩斯区域表现为货币的投机需求为无限，因此货币的投机需求曲线为水平线。
三者的联系：均是利率极低，人们的货币需求为无限大，私人投资对利率的变化非常不敏感。
对宏观经济政策的影响：货币政策无效，财政政策十分有效。
参考资料来源：百度百科-凯恩斯主义极端
参考资料来源：百度百科-凯恩斯区域
参考资料来源：百度百科-流动偏好陷阱
主要有如下：
1、利率决定理论：凯恩斯认为利率是纯粹的货币现象。因为货币最富有流动性，它在任何时候都能转化为任何资产。利息就是在一定时期内放弃流动性的报酬。利率因此为货币的供给和货币需求所决定。凯恩斯假定人们可贮藏财富的资产主要有货币和债券两种。
2、货币需求曲线的移动：在凯恩斯流动性偏好理论中，导致货币需求曲线移动的因素主要有两个，即收入增长引起更多的价值储藏，并购买更多的商品，物价的高低通过实际收入的变化影响人们的货币需求。
3、货币供给曲线的移动：凯恩斯假定货币供给完全为货币当局所控制，货币供给曲线表现为一条垂线，货币供给增加，货币供给曲线就向右移动，反之，货币供给曲线向左移动。
4、影响均衡利率变动的因素：所有上述这些因素的变动都将引起货币供给和需求曲线
的移动，进而引起均衡利率的波动。
5、流动性陷阱对利率的影响： 凯恩斯在指出货币的投机需求是利率的递减函数的情况下，进一步说明利率下降到一定程度时，货币的投机需求将趋于无穷大。因为此时的债券价格几乎达到了最高点，只要利率小有回升，债券价格就会下跌，债券购买就会有亏损的极大风险。于是，不管中央银行的货币供给有多大，人们都将持有货币，而不买进债券，债券价格不会上升，利率也不会下降。这就是凯恩斯的"流动性陷阱"。在这种情况下，扩张性货币政策对投资、就业和产出都没有影响
需求曲线定义
需求曲线是显示价格与需求量关系的曲线，是指其他条件相同时，在每一价格水平上买主愿意购买的商品量的表或曲线。其中需求量是不能被观测的。需求曲线可以以任何形状出现，可以符合需求定理的需求曲线只可以是向右下倾斜的。
需求曲线通常以价格为纵轴（y轴），以需求量为横轴（x轴），在一条向右下倾斜、且为直线的需求曲线中，在中央点的需求的价格弹性等于一，而以上部份的需求价格弹性大于一，而以下部份的需求价格弹性则小于一。
需求关系表达形式
需求关系有多种表达形式，如：叙述法，直接用文字描述；函数法，用需求函数demand function进行描述；图解法，用需求曲线demand curve进行描述；表格法：用需求表demand schedule进行描述。几种表达方式在一定程度上可以相互转换。
需求曲线是用曲线方式表示需求关系、需求函数。需求曲线是需求函数的直观描述，它抓住需求的主要因素，纵轴表示价格（自变量），横轴表示产品需求量（因变量）。
最常见的表示是线性模型（linear form），注意理解（垂直）截距（(vertical) intercept）、斜率（slope）水平截距（horizontal intercept）的经济意义。
需求曲线的斜率
需求曲线的斜率反映需求量价格变化的敏感程度。斜率绝对值越大，曲线越平缓，敏感性越高。在管理决策中，应把敏感性高的产品作为管理的重点。
需求曲线种类
需求曲线可分为以下三类：
1、个人需求曲线(Individual Demand Curve)：单个消费者愿意购买某种产品的数量与其价格之间的关系；
2、市场需求曲线(Market Demand Curve)：市场上全体消费者愿意购买某种产品的数量与其价格之间的关系。市场需求曲线可由行业内各个消费者的个人需求曲线横向相加求得；
3、企业需求曲线(Firm Demand Curve)：某企业的全体顾客愿意向该企业购买某种产品的数量与其价格之间的关系。
市场行业需求曲线的斜率大于个人需求曲线的斜率；企业需求曲线的斜率小于行业需求曲线的斜率。
需求曲线的应用
需求曲线有如下应用：
1、当价格确定时，求商品可能销售的最大量（the maximun amount of a good that will be purchased if a given price is charged）;
2、给定商品数量下顾客愿意付的价格（the maximum the consumers will pay for a specific amount of a good）。
IGCSE 数学中英对照词汇
代数部分
1.基础
add，plus 加
subtract 减
difference 差
multiply times 乘
product 积
divide 除
divisible 可被整除的
divided evenly 被整除
dividend 被除数
divisor 因子，除数
quotient 商
remainder 余数
factorial 阶乘
power 乘方
radical sign, root sign 根号
round to 四舍五入
to the nearest 四舍五入
2.有关集合
union 并集
proper subset 真子集
solution set 解集
3.有关代数式、方程和不等式
algebraic term 代数项
like terms, similar terms 同类项
4.基本数学概念
arithmetic mean 算术平均值
weighted average 加权平均值
geometric mean 几何平均数
exponent 指数，幂
base 乘幂的底数,底边
cube 立方数，立方体
square root 平方根
cube root 立方根
common logarithm 常用对数
digit 数字
constant 常数
variable 变量
inverse function 反函数
complementary function 余函数
linear 一次的，线性的
factorization 因式分解
absolute value 绝对值
round off 四舍五入
5有关数论
natural number 自然数
positive number 正数
negative number 负数
odd integer 奇整数,
odd number 奇数
even integer, even number 偶数
integer, whole number 整数
6.有关分数和小数
proper fraction真分数
improper fraction假分数
mixed number带分数
vulgar fraction，common fraction普通分数
simple fraction简分数
complex fraction繁分数
numerator分子
denominator分母
(least)common denominator(最小)公分母
quarter四分之一
decimal fraction纯小数
infinite decimal无穷小数
recurring decimal循环小数
tenths unit十分位
irrational(number)无理数
inverse倒数
composite number合数
reciprocal倒数
common divisor公约数
multiple倍数
(least)common multiple(最小)公倍数
(prime)factor(质)因子
common factor公因子
prime number质数
ordinary scale, decimal scale十进制
nonnegative非负的
tens十位
units个位
mode众数
median中数
common ratio公比
positive whole number 正整数
negative whole number 负整数
consecutive number 连续整数
real number, rational number 实数,有理数
arentheses 括号=32
proportion 比例
permutation 排列
combination 组合
table 表格
trigonometric function 三角函数
unit 单位,位
numerical coefficient 数字系数
inequality 不等式
triangle inequality 三角不等式
range 值域
original equation 原方程
equivalent equation 同解方程等价方程
linear equation 线性方程 (e.g.5x+6=22)
7.数列
arithmetic progression(sequence)等差数列
geometric progression(sequence)等比数列
8.其它
approximate 近似
(anti)clockwise(逆)顺时针方向
cardinal 基数
ordinal 序数
direct proportion 正比
distinct 不同的
estimation 估计，近似
几何部分
1.所有的角
alternate angle 内错角
corresponding angle 同位角
vertical angle 对顶角
central angle 圆心角
interior angle 内角
exterior angle 外角
supplementary angles 补角
complementary angle 余角
adjacent angle 邻角
acute angle 锐角
obtuse angle 钝角
right angle 直角
round angle 周角
straight angle 平角
included angle 夹角
2.所有的三角形
equilateral triangle 等边三角形
scalene triangle 不等边三角形
isosceles triangle 等腰三角形
right triangle 直角三角形
oblique 斜三角形
inscribed triangle 内接三角形
solid 立体的
cone 圆锥
sphere 球体
3.有关立体图形
cube 立方体，立方数
rectangular solid 长方体
regular solid/regular polyhedron 正多面体
circular cylinder 圆柱体
tangent 切线的
transversal 截线
intercept 截距
4.有关图形上的附属物
altitude 高
depth 深度
side 边长
circumference, perimeter 周长
radian 弧度
surface area 表面积
volume 体积
arm 直角三角形的股
cross section 横截面
center of acircle 圆心
chord 弦
radius 半径
angle bisector 角平分线
diagonal 对角线
diameter 直径
edge 棱
face of a solid 立体的面
hypotenuse 斜边
5.有关收敛的平面图形，除三角形外
semicircle 半圆
concentric circles 同心圆
quadrilateral 四边形
pentagon 五边形
hexagon 六边形
heptagon 七边形
octagon 八边形
nonagon 九边形
decagon 十边形 polygon 多边形
parallelogram 平行四边形
equilateral 等边形
plane 平面
square 正方形，平方
rectangle 长方形
regular polygon 正多边形
rhombus 菱形
trapezoid 梯形
6.其它平面图形
arc 弧
line, straight line 直线
line segment 线段
parallel lines 平行线
segment of a circle 弧形
其它相关词汇
cent 美分
penny 一美分硬币
included side 夹边
leg 三角形的直角边
median of a triangle 三角形的中线
base 底边，底数(e.g.2 的5 次方，2 就是底数)
opposite 直角三角形中的对边
midpoint 中点
endpoint 端点
vertex(复数形式vertices)顶点
quart 夸脱
gallon 加仑(1gallon=4quart)
yard 码
meter 米
micron 微米
inch 英寸
7.有关坐标
coordinate system 坐标系
rectangular coordinate 直角坐标系
origin 原点
abscissa 横坐标
ordinate 纵坐标
Number line 数轴
quadrant 象限
slope 斜率
complex plane 复平面
8.其它
plane geometry 平面几何
trigonometry 三角学
bisect 平分
circumscribe 外切
inscribe 内切
intersect 相交
nickel 5 美分硬币
dime 一角硬币
dozen 打(12 个)
score 廿(20 个)
Centigrade 摄氏
Fahrenheit 华氏
foot 英尺
minute 分(角度的度量单位，60 ="" s=""
“苏武放羊”体现爱国精神。
苏武牧羊这个故事讲的是苏武在天汉元年（前100年）奉命以中郎将持节出使匈奴，被扣留。匈奴贵族多次威胁利诱，欲使其投降；后将他迁到北海（一说今俄罗斯的贝加尔湖，一说在今甘肃白亭海 ） 边牧羊，手持汉朝符节，扬言要公羊生子方可释放他回国。
苏武历尽艰辛，留居匈奴十九年持节不屈。至始元六年（前81年），方获释回汉。他去世后，汉宣帝将其列为麒麟阁十一功臣之一，彰显其节操。
《苏武牧羊》赞扬了苏武面对威逼利诱忠心耿耿，不畏强权，忠贞不屈，爱国且不向挫折屈服低头的精神。
扩展资料
《苏武传》创作背景：
苏武是西汉大臣。他出使匈奴，正当汉朝与匈奴的关系有所改善、两国矛盾有所缓和的时期。匈奴方面先做出友好姿态，把以往扣留的汉朝使臣全部放回。汉武帝为了答谢匈奴方面的好意，也采取了同样的行动，派苏武护送以往扣留在汉朝的匈奴使臣回国。
按常情而言，苏武是一个和平使者。他的出使应该是愉快而顺利的，但事情的发展却出乎意料。当时，匈奴恰巧发生了一次情节严重的谋反事件。谋反者的首领缑王计划绑架匈奴单于的母亲阏氏，投奔汉朝。谋反者的另一首领虞常原是汉臣，他企图刺杀叛汉降敌、当了匈奴大臣的卫律。
他把这个想法告诉了副使张胜。张胜没有向苏武报告，私下支持他们的行动。从国家关系上说，张胜的做法损害了汉朝的信义，有悖于两国通好的宗旨，使汉使处于理亏的地位。
参考资料来源：百度百科-苏武放羊
看官可以先拿出大学《概率论与数理统计》教材翻一翻，反正我是复习过才写的（逃
什么是基数？
一个（有限）集合S里不同的元素个数就称为该集合的基数（cardinality），也叫做“势”，记为|S|。例如，S={"西红柿", "土豆", "胡萝卜", "土豆", "洋葱", "西红柿"}，那么|S|=4。
在我们的日常工作中，经常碰到需要统计基数的情境。最常见的就是日活跃用户数（daily active users, DAU）。比如，在一天内登录某App的独立访客（unique visitor, UV）总数，或者在一天内进入到某商品详情页面的UV总数等等。DAU是衡量互联网产品活跃度最直接的指标，少不了要与它们打交道。如果只考虑最naive的基数统计手段，很简单：
上面的两个方法都是精确统计，在数据量适中时常用。但是在海量数据面前，它们的空间（内存）占用和时间效率都会变得不可控。用大数据的思维来考虑，我们是否可以稍微牺牲一点准确率，换来效率的大幅提升呢？答案自然是肯定的， 基数估计 （cardinality estimation）已经有了多种成熟的实现，应用比较广泛的就是HyperLogLog，熟悉Redis的看官肯定已经见怪不怪了。不过，本文研究的是它的父辈们，即两种早期的基数估计算法——Linear Counting算法与Flajolet-Martin算法。
Linear Counting（线性计数）算法由Kyu-Young Whang等人在1990年的论文 《A Linear-Time Probabilistic Counting Algorithm for Database Applications》 中提出。它不是最早的基数估计算法，但它的思路比较直接，并且不涉及什么高深的东西，所以我可以尽量叙述得详细一点。
算法流程如下，不难理解。
下图是论文中给出的哈希过程示例。
由于H按每bit分了m个桶，并且n个哈希结果服从均匀分布，可得：
空桶数u是个随机变量，我们就可以计算出它的期望：
当n和m都趋向无穷大时，可得：
即得出这种情况下，基数n与m、E(u)的关系：
因为每个bit的值都服从0-1分布，故u服从二项分布。又因为n和m都趋向无穷大，所以u渐近地服从正态分布，即：
对正态分布而言，μ的最大似然估计（MLE）是样本均值，其证明过程可以 参考这里 。
而u正是从正态分布总体中随机抽取的样本，故u就是E(u)的MLE。
根据MLE的不变性，因为函数f(x) = -m · ln(x/m)可逆，即得出基数n的MLE：
算法得证。
由于计算过程太长，所以直接给出论文中的结论：
可见，Bias指估计值与精确值的期望相对偏差，StdError指“标准误差”，即n的估计值与精确值的比值的标准差。
如果我们限定标准误差，即StdError ε，容易推导出位数组长度m要满足以下条件：
但这样还不够。由上面的算法证明过程可知，一旦u=0（就是所有桶都满了），算法就失效了，因此我们还得保证在t1的情况下，u=0的概率足够小，可以控制空桶数u的期望E(u)与其标准差SD(u)之间满足如下关系：
当n、m趋向无穷大时，又可以推导出标准差（计算过程略去）：
解得：
也就是说，m最终要满足：
在上一节中，我们已经说过u渐近地服从正态分布，这是二项分布逼近连续型的情况。如果仍然考虑离散型，那么在u~B(n,p)的n较大而p较小时，u就会近似服从泊松分布：
当k=0时，就是位数组被填满的概率，即e -λ 。
现在我们给α赋一个值，论文中是√5。又因为泊松分布的期望和方差都是λ，易得：
也就是说，就算不考虑ε，我们只要保证u的期望值偏离标准差的√5倍以上，就可以保证算法失效的概率低于0.7%了。文中提供了在α=√5且ε=0.01或0.10的情况下，随着n增大的m取值表。
由上一节的表中可以看出，当n达到比较大的规模时，Linear Counting算法的空间复杂度为O(n/C)，C是个常数。以n=10 8 为例，位数组的大小不到10 7 bit（1MB多点），相当于只占用了原生位数组方法的1/12。如果想要计算两个集合的并集的基数，只需要O(1)的按位或就可以，简单方便。
但是，这个算法只能保证空间占用有常数级别的降低，因此仍然主要用于小数据量的场景，仍然不适用于大数据。下面我们来看更“聪明”一些的Flajolet-Martin算法。
这个算法由Philippe Flajolet和G.Nigel Martin在1984年的论文 《Probabilistic Counting Algorithms for Data Base Applications》 中提出，因此得名，并且是基数估计算法真正的始祖。它的论文就比较难啃了，我毕竟不是数学系毕业的，所以数学方面的细节会写得粗糙一点，但保证贴合原文的思路。
定义哈希函数：
该函数能够保证哈希结果尽量服从均匀分布。换句话说，H(x)的哈希结果空间为长度固定L的二进制串的集合。
对任意一个非负整数y，将y的二进制表示中第k（k≥0）个bit的值记为bit(y,k)，那么可得：
然后，定义ρ(y)，代表y的二进制表示中，从末尾开始出现的第一个1（least significant set bit）的位置，即：
也就是说，y的二进制表示的低位有连续ρ(y)个0。
Flajolet-Martin算法的流程如下：
是不是感觉有些云里雾里的？下面来简单证明一下它。
如果bitmap[j]=1，就表示M中有一个值经过哈希后，其二进制串末尾有连续j个0。由于H(x)的结果尽量符合均匀分布，所以哈希结果二进制串中的每个比特都服从0-1分布且相互独立。
若我们将二进制串视为抛硬币的结果，0代表反面，1代表正面，那么很显然，“从二进制串的末尾开始扫描1”就相当于“连续抛硬币直到出现正面为止”。进一步说，它是个参数为p=1/2的伯努利实验。我们可以得出：
记集合的基数|M|为n，易得：
也就是说，如果jlog 2 n，那么bitmap[j]=0的概率极大；反过来，如果jlog 2 n，那么bitmap[j]=1的概率极大。参考算法流程中R的定义，它其实就是所有哈希结果中最大的ρ(y)，因此它可以代替前述的j值，使得2 R 成为基数n的一个粗糙的估计量。
φ≈0.77351是经过复杂的计算得出的修正因子，就不提了。
在H(x)保证均匀分布的情况下，可以得出结论：
又因为估计值是2的整数次幂，显然它是非常不精确的。论文中提出了一个解决方案，叫做PCSA（Probabilistic counting with stochastic averaging），即“基于离散平均值的概率性计数”。思路如下：
将原始算法中的bitmap扩展为m个组，每次哈希时，以H(x) mod m为组编号，在每组中再用floor[H(x) / m]的方法确定下标。这样每个组都会有n/m个元素，并且计算出的R值就不再是一个，而是m个。n的估计量就可以表示为：
详细的伪码描述如下。
论文中还给出了m的取值与偏差值和标准误差的对应关系表。
除PCSA的思路之外，也有其他方法，比如采用多个哈希函数，或者用中位数来代替均值。当然我们很容易想明白，多个哈希函数的方法并不现实，因为设计多个均匀分布并且尽量少冲突的哈希函数很难，并且计算哈希值也是需要耗费CPU的。
PCSA方法的偏差与标准误差的计算极其复杂，论文中靠计算机得出了近似值：
可见都只与m的选择有关。如果m 256，标准误差会缩小到5%以内。
位数组长度L的理想取值范围为：
当m=64时，若L=16，可估算的基数可达十万数量级；若L=24，可估算的基数可达千万数量级。
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