证明正方形的判定方法

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大家好,今天继续为大家分享。今天给大家分享一道难度适中的题目,重点是通过这道题来复习一下正方形的有关知识,正方形的定义、性质以及判定方法,在好多时候我们都需要用到正方形的性质和判定方法。下面先看题目:

如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F,求证:CE=CF。

证明正方形的判定方法-第1张图片-科灵网

这道题是正方形和等腰三角形放一块来出的题,整体难度中等。把△ADE顺时针旋转90°得到△ABG,从而可得B、G、D三点在同一条直线上,然后可以证明△AGB与△CGB全等,根据全等三角形对应边相等可得AG=CG,所以△AGC为等边三角形,根据等边三角形的性质可以推出∠CEF=∠CFE=75°,从而得证。下面来看具体过程:

证明正方形的判定方法-第2张图片-科灵网

证明:如图所示,顺时针旋转△ADE90°得到△ABG,连接CG。

∵∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°,

∴B,G,D在一条直线上,

∴∠ABG=∠CBG=180°-45°=135°,

在△AGB与△CGB中,AB=BC,∠ABG=∠CBG,BG=BG

∴△AGB≌△CGB(SAS),

∴AG=AC=GC=AE,

∴△AGC为等边三角形,

∵AC⊥BD(正方形的对角线互相垂直),

∴∠AGB=30°,

∴∠EAC=30°,

∵AE=AC,

∴∠AEC=∠ACE=(180°-30°)/2=75°,

又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°,

∴CE=CF。

这道题综合考查了正方形的性质,全等三角形的判定,以及旋转变换的性质,根据旋转变换构造出图形是解题的关键。我们在这里借助这道题来回顾下正方形的有关知识:

证明正方形的判定方法-第3张图片-科灵网

(1)正方形的定义:

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。特殊的长方形。四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形是正方形。有一个角为直角的菱形是正方形。对角线平分且相等,并且对角线互相垂直的四边形为正方形。对角线相等的菱形是正方形。

(2)正方形的性质:

1、边:两组对边分别平行;四条边都相等;相邻边互相垂直;

2、内角:四个角都是90°;

3、对角线:对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角;

4、对称性:既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴);

5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质;

6、特殊性质:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;

证明正方形的判定方法-第4张图片-科灵网

正方形的判定:

判定一个四边形为正方形的一般顺序如下:先证明它是平行四边形,再证明它是菱形(或矩形),最后证明它是矩形(或菱形)。

证明正方形的判定方法-第5张图片-科灵网

1:对角线相等的菱形是正方形。

2:有一个角为直角的菱形是正方形。

3:对角线互相垂直的矩形是正方形。

4:一组邻边相等的矩形是正方形。

5:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6:对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7:对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。

8:一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。

com9:既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

好今天就给大家分享到这里,如果喜欢可以关注转发收藏点赞,谢谢!

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